数字特征¶
数字特征用少量数值概括随机变量或随机变量之间的关系。数学期望描述中心位置，方差描述离散程度，协方差和相关系数描述两个随机变量之间的线性关系。
数学期望¶
设 \(X\) 是离散型随机变量，其分布律为
\[ P \left(X=x_i \right) = p_i \ , \ i=1,2, \cdots \]
如果级数 \(\displaystyle\sum\limits_{i} x_ip_i\) 绝对收敛，则称其为 \(X\) 的数学期望、均值，记为 \(EX\) 或 \(E(X)\)。
方差¶
方差刻画随机变量围绕数学期望波动的程度。常用计算公式为
\[ DX = EX^2 - (EX)^2 \]
协方差¶
协方差刻画两个随机变量共同变化的方向和程度。它与数学期望的关系为
\[ \mathrm{cov}(X,Y)=E(XY)-EX \cdot EY \]
相关系数¶
相关系数表示两个随机变量间的线性关系的程度。可以用协方差和方差计算。
\[ \rho_{XY}=\frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}} \]
- 相互独立 \(\Leftrightarrow\) 没有任何关系 \(\Rightarrow\) 不相关。
- 相关 \(\Rightarrow\) 存在线性关系 \(\Rightarrow\) 不独立。
- 不相关 \(\Rightarrow\) 没有线性关系，但可能有其他关系 \(\Rightarrow\) 不一定独立。
常见分布的期望和方差¶
| 分布 | 数学期望 | 方差 |
|---|---|---|
| 0-1 分布 | \(p\) | \(p(1-p)\) |
| 二项分布 | \(np\) | \(np(1-p)\) |
| 泊松分布 | \(\lambda\) | \(\lambda\) |
| 均匀分布 | \(\dfrac{a+b}{2}\) | \(\dfrac{(b-a)^2}{12}\) |
| 指数分布 | \(\dfrac{1}{\lambda}\) | \(\dfrac{1}{\lambda^2}\) |
| 正态分布 | \(\mu\) | \(\sigma^2\) |
| 卡方分布 | \(n\) | \(2n\) |
| t 分布 | \(0\) | \(\dfrac{n}{n-2}\) |