积分公式¶
区间再现公式¶
\[ \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x = \int_{a}^{b} f(a + b - x)\mathrm{d}x \]
令 \(x = a + b - t\) 换元，即可证明。
推论¶
\[ \int_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int_{a}^{b} (f(x) + f(a + b - x))\mathrm{d}x \]
例题¶
\[ \int_{-1}^{1} \frac{1}{(1+x^2)(1+e^x)}\mathrm{d}x \]
用区间再现公式可以化简为
\[ \frac{1}{2} \int_{-1}^{1}\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x \]
Wallis 公式¶
又叫华里士公式、点火公式。
\[ \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \sin^n x \mathrm{d}x = \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \cos^n x \mathrm{d}x = \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot H \]
- \(n\) 为偶数时，\(H\) 为 \(\dfrac{\pi}{2}\)。
- \(n\) 为奇数时，\(H\) 为 \(1\)。
即
\[ = \left\{\begin{matrix} \dfrac{n-1}{n} \cdot \dfrac{n-3}{n-2} \cdots \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{2} &,n\text{为偶数}\\ \\ \dfrac{n-1}{n} \cdot \dfrac{n-3}{n-2} \cdots \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot 1 &,n\text{为奇数} \end{matrix}\right. \]
用分部积分求出第 \(n\) 和 \(n-2\) 项的递推关系，然后易得。
推论一¶
\[ \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \sin^n x \cos^n x \mathrm{d}x = \frac{1}{2^n} \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \sin^n x \mathrm{d}x \]
证明如下
\[ \begin{align} \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \sin^n x \cos^n x \mathrm{d}x &= \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} (\sin x \cos x)^n \mathrm{d}x \\ \\ &= \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} (\frac{1}{2} \sin 2x)^n \mathrm{d}x \end{align} \]
然后，令 \(t = 2x\) 换元，即可证明。
推论二¶
\[ \lim_{n \to +\infty} \left (\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} \right)^2 \frac{1}{2n+1} = \frac{\pi}{2} \]
借助双阶乘的性质
\[ \begin{align} & (2n)!! = \prod_{k=1}^{n} (2k) = 2^nn! \\ \\ & (2n - 1)!! = \dfrac{(2n)!}{(2n)!!} = \dfrac{(2n)!}{2^nn!} \end{align} \]
该推论也可以表示为
\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{(n!)^2 \cdot 2^{2n}}{(2n)!\sqrt{n}} = \sqrt{\pi} \]
证明方法为，令
\[ I_n = \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \sin^n x \mathrm{d}x \]
当 \(x \in \left [0, \dfrac{\pi}{2} \right ]\) 时，有
\[ \sin^{2k + 1} x \le \sin^{2k} x \le \sin^{2k - 1} x \]
从 \(0\) 到 \(\dfrac{\pi}{2}\) 积分得
\[ I_{2k + 1} \le I_{2k} \le I_{2k - 1} \]
即
\[ \frac{(2k)!!}{(2k+1)!!} \le \frac{(2k - 1)!!}{(2k)!!} \cdot \frac{\pi}{2} \le \frac{(2k - 2)!!}{(2k - 1)!!} \]
变形后得
\[ 1 \le \frac{\cfrac{\pi}{2}}{\left ( \cfrac{(2k)!!}{(2k-1)!!} \right )^2 \cdot \cfrac{1}{2k+1}} \le \frac{2k+1}{2k} \]
当 \(k \to +\infty\) 时，由夹逼定理即可求得结论。
推论三¶
当 \(n \to +\infty\) 时，有
\[ \dfrac{(2n)!!}{(2n-1)!!} = \dfrac{(n!)^2 \cdot 2^{2n}}{(2n)!} \sim \sqrt{\pi n} \]
三角函数1¶
\[ \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d}x = \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} f(\cos x) \mathrm{d}x \]
用区间再现公式，即可证明。
三角函数2¶
\[ \int_{0}^{\pi} xf(\sin x) \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \mathrm{d}x \]
用区间再现公式的推论，即可证明。
三角函数3¶
\[ \begin{align} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \mathrm{d}x &= 2\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d}x \\ \\ \int_{0}^{\pi} xf(\sin x) \mathrm{d}x &= \pi \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d}x \end{align} \]
对称性。
三角函数4¶
\[ \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} x(f(\sin x) + f(\cos x)) \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d}x \]
证明如下
\[ \begin{align} \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} xf(\sin x) \mathrm{d}x &= \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} (\frac{\pi}{2} - x)f(\sin (\frac{\pi}{2} - x)) \mathrm{d}x \\ \\ &= \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} f(\cos x) \mathrm{d}x - \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} xf(\cos x) \mathrm{d}x \end{align} \]
等式两边再加上
\[ \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} xf(\cos x) \mathrm{d}x \]
就得到结论了。
三角函数5¶
\[ \begin{align} \int \sec x \mathrm{d}x &= \int \dfrac{\sec x(\sec x + \tan x)}{\sec x + \tan x} \mathrm{d}x \\ \\ &= \int \dfrac{\mathrm{d} (\sec x + \tan x)}{\sec x + \tan x} \\ \\ &= \ln \left | \sec x + \tan x \right | + C \end{align} \]
或者
\[ \begin{align} \int \sec x \mathrm{d}x &= \int \dfrac{\cos x}{\cos^2 x} \mathrm{d}x \\ \\ &= \int \dfrac{\mathrm{d} \sin x}{1 - \sin^2 x} \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \int (\dfrac{1}{1 + \sin x} + \dfrac{1}{1 - \sin x}) \mathrm{d} \sin x \\ \\ &= \dfrac{1}{2} \ln \left | \dfrac{1 + \sin x}{1 - \sin x} \right | + C \end{align} \]
三角函数6¶
\[ \begin{align} \int \csc x \mathrm{d}x &= \int \dfrac{1}{\sin x} \mathrm{d}x \\ \\ &= \int \dfrac{1}{2 \sin \dfrac{x}{2} \cos \dfrac{x}{2}} \mathrm{d}x \\ \\ &= \int \dfrac{\cos \dfrac{x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2} \cos^2 \dfrac{x}{2}} \mathrm{d} \dfrac{x}{2} \\ \\ &= \int \dfrac{\sec^2 \dfrac{x}{2}}{\tan \dfrac{x}{2}} \mathrm{d} \dfrac{x}{2} \\ \\ &= \int \dfrac{1}{\tan \dfrac{x}{2}} \mathrm{d} \tan \dfrac{x}{2} \\ \\ &= \ln \left | \tan \dfrac{x}{2} \right | + C \end{align} \]
由于
\[ \begin{align} \tan \dfrac{x}{2} &= \dfrac{\sin \dfrac{x}{2}}{\cos \dfrac{x}{2}} \\ \\ &= \dfrac{2 \sin^2 \dfrac{x}{2}}{2 \sin \dfrac{x}{2} \cos \dfrac{x}{2}} \\ \\ &= \dfrac{1 - \cos x}{\sin x} \\ \\ &= \csc x - \cot x \end{align} \]
所以，也有
\[ \int \csc x \mathrm{d}x = \ln \left | \csc x - \cot x \right | + C \]