微分方程¶

微分方程：表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。
微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数。
- 高阶：二阶及以上。
微分方程的解：带入微分方程后能使该方程成为恒等式的函数。
- 隐式解：函数为隐函数。
微分方程的通解：含有任意常数，且任意常数的个数等于微分方程的阶的解。
- 隐式通解：解为隐式解。
微分方程的特解：确定了任意常数的通解。
微分方程的积分曲线：微分方程的解的图形（这个图形是一条曲线）。
初值条件：用来确定通解中的任意常数的条件。
初值问题：求微分方程满足一定初值条件的特解的问题。

分离变量¶

如果一阶微分方程可以写成

\[ g(y)\,\mathrm{d}y = f(x)\,\mathrm{d}x \]

的形式，那么它称为可分离变量的微分方程，两边积分就能求解。

\[ \int g(y)\,\mathrm{d}y = \int f(x)\,\mathrm{d}x \]

齐次方程¶

如果一阶微分方程可以写成

\[ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \varphi(\dfrac{y}{x}) \]

的形式，那么它称为齐次方程。令

\[ u = \dfrac{y}{x} \]

则有

\[ y = ux,\ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = u + x\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \]

代入原方程可得

\[ u + x\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \varphi(u) \]

分离变量即可求解。

转化为齐次¶

方程

\[ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f(\dfrac{ax + by + c}{a_1x + b_1y + c_1}) \]

齐次情况¶

当 \(c = c_1 = 0\) 时是齐次方程

\[ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \varphi(\dfrac{y}{x}) \]

其中

\[ \varphi(x) = f(\dfrac{a + bx}{a_1 + b_1x}) \]

非齐次情况 1¶

如果

\[ \dfrac{a_1}{a} = \dfrac{b_1}{b} = \lambda \]

那么原方程可以写成

\[ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f(\dfrac{ax + by + c}{\lambda(ax + by) + c_1}) \]

的形式。此时，令

\[ v = ax + by \]

带入原方程得

\[ \dfrac{1}{b}(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} - a) = f(\dfrac{v + c}{\lambda v + c_1}) \]

分离变量即可求解。

非齐次情况 2¶

如果

\[ \dfrac{a_1}{a} \ne \dfrac{b_1}{b} \]

可以令

\[ x = X + h,\ y = Y + k \]

其中 \(h\) 和 \(k\) 是待定的常数。于是

\[ \mathrm{d}x = \mathrm{d}X,\ \mathrm{d}y = \mathrm{d}Y \]

方程变为

\[ \dfrac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X} = f(\dfrac{aX + bY + ah + bk + c}{a_1X + b_1Y + a_1h + b_1k + c_1}) \]

解方程组

\[ \left\{\begin{matrix} ah + bk + c = 0 \\ a_1h + b_1k + c_1 = 0 \end{matrix}\right. \]

解得 \(h\) 和 \(k\) 的值后代入可得齐次方程

\[ \dfrac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X} = f(\dfrac{aX + bY}{a_1X + b_1Y}) \]

降阶 1¶

对于微分方程

\[ y^{(n)} = f(x) \]

只需要两边连续积分 \(n\) 次就能求出通解。

降阶 2¶

对于微分方程

\[ y'' = f(x, y') \]

设

\[ y' = p \]

原方程就变为一个一阶微分方程

\[ p' = f(x, p) \]

降阶 3¶

对于微分方程

\[ y'' = f(y, y') \]

设

\[ y' = p \]

那么

\[ y'' = \dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = \dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} \cdot \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = p \dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} \]

原方程就变为一个关于 \(y, p\) 的一阶微分方程

\[ p \dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} = f(y, p) \]

下面几类方程可以通过结构变换或常系数方法继续求解。

线性微分方程¶

\[ y^{(n)} + a_1(x)y^{(n - 1)} + \cdots + a_{n - 1}(x)y' + a_n(x)y = f(x) \]

线性：方程对于未知函数 \(y\) 及其导数是一次方程。
齐次： \(f(x) \equiv 0\) 。

函数组的线性相关¶

设 \(y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)\) 为定义在区间 \(I\) 上的 \(n\) 个函数，如果存在 \(n\) 个不全为零的常数 \(k_1, k_2, \cdots, k_n\) ，使得当 \(x \in I\) 时有恒等式

\[ k_1\,y_1 + k_2\,y_2 + \cdots + k_n\,y_n \equiv 0 \]

成立，那么称这 \(n\) 个函数在区间 \(I\) 上线性相关；否则称为线性无关。

解的结构¶

定理一¶

如果函数 \(y_1(x)\) 与 \(y_2(x)\) 是二阶齐次线性方程

\[ y'' + P(x)\,y' + Q(x)\,y = 0 \]

的两个解，那么

\[ y = C_1\,y_1(x) + C_2\,y_2(x) \]

也是方程的解，其中 \(C_1, C_2\) 是任意常数。当且仅当 \(y_1(x)\) 与 \(y_2(x)\) 线性无关时，上式为方程的通解。

推论¶

如果 \(y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)\) 是 \(n\) 阶齐次线性方程

\[ y^{(n)} + a_1\,y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}\,y' + a_n\,y = 0 \]

的 \(n\) 个线性无关的解，那么，此方程的通解为

\[ y = C_1\,y_1(x) + C_2\,y_2(x) + \cdots + C_n\,y_n(x) \]

其中 \(C_1, C_2, \cdots, C_n\) 为任意常数。

定理二¶

设 \(y^*(x)\) 是二阶非齐次线性方程

\[ y'' + P(x)\,y' + Q(x)\,y = f(x) \]

的一个特解。 \(Y(x)\) 是对应齐次方程的通解，则

\[ y = Y(x) + y^*(x) \]

是原方程的通解。（可推广到 \(n\) 阶）

叠加原理¶

对于二阶非齐次线性方程

\[ y'' + P(x)\,y' + Q(x)\,y = f_1(x) + f_2(x) \]

如果 \(y_1^*(x)\) 与 \(y_2^*(x)\) 分别是方程

\[ y'' + P(x)\,y' + Q(x)\,y = f_1(x) \]

与

\[ y'' + P(x)\,y' + Q(x)\,y = f_2(x) \]

的特解，则 \(y_1^*(x) + y_2^*(x)\) 就是原方程的特解。（可推广到 \(n\) 阶）

特征方程法¶

这个方法可以用来求 \(n\) 阶常系数齐次线性微分方程的通解。

由于 \(y=e^{rx}\) 和它的各阶导数都只相差一个常数因子，所以希望找到合适的常数 \(r\) 使该函数满足方程。找到 \(n\) 个线性无关的特解后就能构造出通解。

对于二阶常系数齐次线性微分方程

\[ y'' + p\,y'+q\,y = 0 \]

其中 \(p, q\) 为常数。可以按如下步骤求出通解：

写出特征方程。

\[ r^2 + p\,r + q = 0 \]
求出特征方程的两个根 \(r_1, r_2\)。
按下表写出通解。

特征方程的根 \(r_1, r_2\)	通解
两个不相等的实根	\(y = C_1\,e^{r_1\,x} + C_2\,e^{r_2\,x}\)
两个相等的实根	\(y = (C_1 + C_2\,x)\,e^{r_1\,x}\)
一对共轭复根 \(\alpha\pm\beta\,i\)	\(y = e^{\alpha\,x}\,(C_1\,\cos\beta\,x + C_2\,\sin\beta\,x)\)

推广¶

对于 \(n\) 阶常系数齐次线性微分方程

\[ y^{(n)} + p_1y^{(n - 1)} + \cdots + p_{n - 1}y' + p_ny = 0 \]

其中 \(p_1, \cdots, p_{n - 1}, p_n\) 都为常数。可以按如下步骤求出通解：

写出特征方程。

\[ r^n + p_1r^{n - 1} + \cdots + p_{n - 1}r + p_n = 0 \]
求出特征方程的 \(n\) 个根 \(r_1, \cdots, r_{n - 1}, r_n\)。
按下表写出通解。

特征方程的根	微分方程通解中的对应项
单实根 \(r\)	给出一项： \(Ce^{rx}\)
一对单复根 \(r_{1, 2} = \alpha\pm\beta\,i\)	给出两项： \(e^{\alpha\,x}\,(C_1\,\cos\beta\,x + C_2\,\sin\beta\,x)\)
\(k\) 重实根 \(r\)	给出 \(k\) 项： \(e^{rx}(C_1 + C_2x + \cdots + C_kx^{k - 1})\)
一对 \(k\) 重复根 \(r_{1, 2} = \alpha\pm\beta\,i\)	给出 \(2k\) 项： \(e^{\alpha\,x}\,\left[(C_1 + C_2x + \cdots + C_kx^{k - 1})\,\cos\beta\,x + (D_1 + D_2x + \cdots + D_kx^{k - 1})\,\sin\beta\,x\right]\)

常数变易法¶

这个方法可以用来求 \(n\) 阶非齐次线性微分方程的通解。

将原方程对应的齐次方程的通解中的任意常数替换为新的未知函数，再回带到原方程确定未知函数，最终得到原方程的通解。

对于一阶非齐次线性微分方程

\[ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y = Q(x) \]

对应的齐次方程

\[ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y = 0 \]

的通解为

\[ y = Ce^{-\int P(x)\,\mathrm{d}x} \]

那么，可以令原方程的通解为

\[ y = u(x)e^{-\int P(x)\,\mathrm{d}x} \]

于是

\[ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = u'e^{-\int P(x)\,\mathrm{d}x} - uP(x)e^{-\int P(x)\,\mathrm{d}x} \]

带入原方程可得

\[ u' = Q(x)e^{\int P(x)\,\mathrm{d}x} \]

两端积分后可得 \(u(x)\) 。所以原方程通解为

\[ y = e^{-\int P(x)\,\mathrm{d}x}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x + C\right) \]

其中 \(C\) 为任意常数。

对于二阶非齐次线性微分方程

\[ y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x) \]

如果已知对应的齐次方程

\[ y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0 \]

的通解为

\[ Y(x) = C_1\,y_1(x) + C_2\,y_2(x) \]

那么，可以令

\[ y = v_1(x)\,y_1(x) + v_2(x)\,y_2(x) \]

因为两个未知函数 \(v_1\) 和 \(v_2\) 只需使 \(y\) 满足一个关系式（原方程），所以可以规定它们再满足一个关系式。由于

\[ y' = y_1v_1' + y_2v_2' + y_1'v_1 + y_2'v_2 \]

为了使 \(y''\) 的表示中不含 \(v_1''\) 和 \(v_2''\) ，可以设

\[ y_1\,v_1' + y_2\,v_2' = 0 \]

在这个条件下，将 \(y, y', y''\) 带入原方程可得

\[ y_1'\,v_1' + y_2'\,v_2' = f \]

接下来，只需要解一个关于 \(v_1', v_2'\) 的二元线性方程组

\[ \left\{\begin{matrix} y_1\,v_1' + y_2\,v_2' = 0 \\ y_1'\,v_1' + y_2'\,v_2' = f \end{matrix}\right. \]

如果系数行列式

\[ W = \begin{vmatrix} y_1& y_2\\ y_1'& y_2' \end{vmatrix} = y_1\,y_2' - y_1'\,y_2 \ne 0 \]

那么可以解得

\[ v_1' = -\dfrac{y_2\,f}{W}, v_2' = \dfrac{y_1\,f}{W} \]

假设 \(f(x)\) 连续，对上面两式积分可得 \(v_1, v_2\)。于是，原方程通解为

\[ y = C_1\,y_1 + C_2\,y_2 - y_1 \int \dfrac{y_2\,f}{W}\,\mathrm{d}x + y_2 \int \dfrac{y_1\,f}{W}\,\mathrm{d}x \]

其中 \(C_1, C_2\) 是任意常数。

待定系数法¶

这个方法可以用来求 \(n\) 阶常系数非齐次线性微分方程的通解。

原方程对应的齐次方程的通解可以用特征方程求得，所以只需要猜出原方程的一个特解就能构造出通解。

对于二阶常系数非齐次线性微分方程

\[ y'' + py' + qy = f(x) \]

其中 \(p, q\) 是常数。设它的一个特解为 \(y^*\)。

情况 1¶

\[ f(x) = e^{\lambda\,x} \, P_m(x) \]

其中 \(\lambda\) 是常数， \(P_m(x)\) 是 \(x\) 的一个 \(m\) 次多项式：

\[ P_m(x) = a_0x^m + a_1x^{m - 1} + \cdots + a_{m - 1}x + a_m \]

那么可以设

\[ y^* = x^kR_m(x)e^{\lambda x} \]

其中 \(R_m(x)\) 是 \(x\) 的一个 \(m\) 次多项式，而 \(k\) 的取值如下：

\(\lambda\) 不是特征方程的根， \(k = 0\) 。
\(\lambda\) 是特征方程的单根， \(k = 1\) 。
\(\lambda\) 是特征方程的重根， \(k = 2\) 。

将 \(y^*\) 带回原方程，对比系数就能求出该特解。

推广¶

推广到 \(n\) 阶后， \(k\) 是特征方程含根 \(\lambda\) 的重复次数。

若 \(\lambda\) 不是特征方程的根， \(k = 0\) 。
若 \(\lambda\) 是特征方程的 \(s\) 重根， \(k = s\) 。

情况 2¶

\[ f(x) = e^{\lambda\,x} \, \left [P_l(x)\cos\omega\,x + Q_n(x)\sin\omega\,x \right ] \]

其中

\(\lambda, \omega\) 是常数， \(\omega \ne 0\) 。
\(P_l(x)\) 和 \(Q_n(x)\) 分别是 \(x\) 的 \(l\) 次和 \(n\) 次多项式。
\(P_l(x)\) 和 \(Q_n(x)\) 中仅有一个可为零。

那么可以设

\[ y^* = x^ke^{\lambda x}[R_m^{(1)}(x)\cos\omega\,x + R_m^{(2)}(x) \sin\omega\,x] \]

其中 \(R_m^{(1)}(x)\) 和 \(R_m^{(2)}(x)\) 是 \(x\) 的 \(m\) 次多项式， \(m = \max\{l, n\}\)，而 \(k\) 的取值如下：

\(\lambda + \omega\,i\) （或 \(\lambda - \omega\,i\) ）不是特征方程的根， \(k = 0\) 。
\(\lambda + \omega\,i\) （或 \(\lambda - \omega\,i\) ）是特征方程的单根， \(k = 1\) 。

将 \(y^*\) 带回原方程，对比系数就能求出该特解。

推广¶

推广到 \(n\) 阶后， \(k\) 是特征方程含根 \(\lambda + \omega\,i\) （或 \(\lambda - \omega\,i\) ）的重复次数。

伯努利方程¶

伯努利（Bernoulli）方程的形式如下

\[ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y = Q(x)y^n \ \ (n \ne 0, 1) \]

两边同时除以 \(y^n\) 得

\[ y^{-n}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y^{1 - n} = Q(x) \]

引入新的因变量

\[ z = y^{1 - n} \]

那么

\[ \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} = (1 - n)y^{-n}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \]

带入原方程后可以得到一阶非齐次线性微分方程

\[ \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} + (1 - n)P(x)z = (1 - n)Q(x) \]

欧拉方程¶

欧拉方程的形式如下

\[ x^ny^{(n)} + p_1x^{n - 1}y^{(n - 1)} + \cdots + p_{n - 1}xy' + p_ny = f(x) \]

其中 \(p_1, p_2, \cdots, p_n\) 为常数。

作变换 \(x = e^t\) 或 \(t = \ln x\) ，将 \(x\) 换成 \(t\) 。如果将 \(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\) 记为 \(\mathrm{D}\)，那么有

\[ x^ky^{(k)} = \mathrm{D}(\mathrm{D} - 1) \cdots (\mathrm{D} - k + 1)y \]

带入欧拉方程就能得到一个以 \(t\) 为自变量的常系数线性微分方程。

例题¶

\[ x^3y''' + x^2y'' - 4xy' = 3x^2 \]

作变换 \(x = e^t\) 或 \(t = \ln x\) ，原方程化为

\[ \mathrm{D}(\mathrm{D} - 1)(\mathrm{D} - 2)y + \mathrm{D}(\mathrm{D} - 1)y - 4\mathrm{D}y = 3e^{2t} \]

化简得

\[ \mathrm{D}^3y - 2\mathrm{D}^2y - 3\mathrm{D}y = 3e^{2t} \]

即

\[ y''' - 2y'' - 3y' = 3e^{2t} \]

这是一个关于 \(t\) 的三阶常系数非齐次线性微分方程。